基本信息
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课题
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人教版新课标数学必修一1.2.3幂函数
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作者及工作单位
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百色民族高中 作者: 韦莹
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教材分析
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幂函数是继指数函数和对数函数后研究的又一基本函数。通过本节课的学习,学生将建立幂函数这一函数模型,并能用系统的眼光看待以前已经接触的函数,进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识,因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合检测。
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学情分析
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学生通过对指数函数和对数函数的学习,已经初步掌握了如何去研究一类函数的方法,即由几个特殊的函数的图象,归纳出此类函数的一般的性质这一方法,为学习本节课打下了基础。
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教学目标
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1.知识与技能
通过实例,了解幂函数的概念,结合函数的图像,了解他们的变化情况,掌握研究一般幂函数的方法和思想.
2.过程与方法
使学生通过观察函数的图像来总结性质,并通过已学的知识对总结出的性质进行解释,从而达到掌握研究幂函数性质的一般方法.
3.情感、态度、价值观
通过引导学生主动参与作图,分析图像的过程,培养学生的探索精神,在研究函数的变化过程中渗透辩证唯物主义观点。
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教学重点和难点
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教学重点:幂函数的概念、图像和性质.
教学难点:将函数图像的感性认识上升到理性认识,归纳概括成函数的性质.
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教学过程
从实例观察引入课题→构建幂函数的概念→
画出代表性函数图像→探索简单的幂函数性质→总结一般性研究方法→
应用举例和课堂练习→小结与作业
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教学环节
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教师活动
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预设学生行为
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设计意图
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(一)实例观察,引入新课
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(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P = W元 P是W的函数 (y=x)(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S=a2 S是a的函数(y=x2)
(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V =a3 S是a的函数(y=x3)(4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边长a= a是S的函数 (y= )
(5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度v=t-1 V是t的函数 (y=x-1)
问题一:以上问题中的函数具有什么共同特征?
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学生反应:底数都是自变量,指数都是常数.
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引导学生从具体的实例中进行总结,从而自然引出幂函数的一般特征.
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(二)类比联想,探究新知
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1.幂函数的定义
一般地,函数y=xɑ叫做幂函数(power function) ,其中x为自变量,ɑ为常数。
注意:幂函数的解析式必须是y = xa 的形式,其特征可归纳为“系数为1,只有1项”.(让学生判断y=2x2 y=(x+1)2 y=x2+1 是否为幂函数)
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深化理解幂函数定义
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加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解.
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2.幂函数的图像与简单性质 同前面的指数函数和对数函数一样,先画出函数的图像,再由图像来研究幂函数的相关性质(定义域,值域,单调性,奇偶性,定点)
不妨也找出典型的函数作为代表:
y=x
y=x2 y=x3
y= y=x-1
让学生自主动手,在同一坐标系中画出这5个函数的图像
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学生画出幂函数图像:指数是分数则化为根式,指数为负数则化为分式,这样对于定义域、值域、单调性、奇偶性都可以很容易看出来,不过要严格判断单调性和奇偶性还要用定义进行证明,接下来不看图像很快得出5个幂函数的相关性质:
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在探索性质的过程中知道了研究方法
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问题三:所有图像都过第几象限,所有图像都不过第几象限,为什么?
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学生反应:都过第一象限,而都不过第四象限,因为当x>0时所有幂函数都有意义,且函数值都为正.
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问题四:第一象限内函数图像的变化趋势与指数有什么关系,为什么?
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当指数为正时是增函数,指数为负时是减函数.为什么却讲不清楚.
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问题五:所有图像都过哪些点,为什么?
问题六:对于原点,什么样的幂函数过,什么样的幂函数不过,为什么?
问题七:图像在第一象限的位置关系是什么样子的,为什么?
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学生反应:都过点(1,1),因为1的任何指数幂都为1.
学生反应:指数为正过,为负则不过,因为负指数幂可以化成分数形式,分母不能为零,所以在原点没有意义.
学生反应:当0<x<1时,指数小的图像在上方,当x>1时,指数大的图像在上方,对于原因大部分学生不能很快反应过来.
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在0<x<1内任取个x值,例如a,肯定有o<a<1,此时联系到指数函数的单调性,有指数小的函数值越大,同样,当x>1时,指数大的函数值就大.
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(三)新知应用
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【练习1】证明幂函数y= 在[0,+∞)上是增函数
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证明:
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【例2】比较下列各组数种两个值的大小(1) (
(3)
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【练习2】 已知一个函数 是幂函数,且在区间(0,+∞)内是减函数,求满足条件的实数m的集合。
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增强学生对新知的应用能力,从而达到能力的转型和对知识理解的深化.
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(四)课堂小结,归纳提升
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(1)知识总结:回顾幂函数的定义和一些简单的幂函数性质.
(2)思想方法:主要涉及到了归纳总结的思想,回顾研究一般具体幂函数的可行方法.
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板书设计
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课题…………
问题一
(1)……………….
(2)………………
(3)……………….
(4)………………
(5)……………….
问题二:
………………………
……………………….
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定义:…………
…………………
填表
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幂函数的性质.
(1)………………
(2)………………
(3)………………
(4)………………
例1……………
①y=x ②y=x ③y=x ④y=x
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例2.
(1)………………
(2)………………
(3)………………
(4)………………
拓展延伸……………
布置作业…………….
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教学反思
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本节课从设计上主要为了体现新知和方法的构建过程,在学生的作业
和课后反应来看,对本节课的知识内容和思想方法掌握还算不错,不
过在对立体的讲解和选题上感觉还过于浅显,不易达到学生能力提升
的教学目标.
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